Задачи на смекалку
Re: Задачи на смекалку
Да, ответ верный! Молодец, Саша!
PS Фотки плохо читаются. Попробую все же разобраться )
PS Фотки плохо читаются. Попробую все же разобраться )
Re: Задачи на смекалку
Очень хорошо, что ты это увидел! Молодец!ationis писал(а): и еще интересный факт из этого уравнения следует что суммы противолежащих площадей равна площади половины квадрата
На самом деле, этот факт:
32 + 16 = 20 + x (и попутно = Sквадрата/2)
и есть ключ к решению. )
PS Выложу завтра короткий вариант.
PPS Дима Васильев присылал мне ссылку на видеоролик в сети с еше одним вариантом решения.
Последний раз редактировалось UraRad 13 янв 2019, 03:19, всего редактировалось 1 раз.
Re: Задачи на смекалку
Постараюсь максимально сжато.
Основное утверждение:
Суммарная площадь одной пары противолежащих четырехугольников равна суммарной площади второй такой же пары.
То есть, по первой картинке:
32 + 16 = 20 + ? ,
поэтому ? = 32 + 16 - 20 = 28
=
Доказательство основного утверждения.
По второй картинке:
Для треугольников:
желтые S1 + S3 = a*h1/2 + a*h3/2 = a*(h1 + h3)/2 = a^2/2 (Sмалого_квадрата/2)
синие S2 + S4 = a*(h2 + h4)/2 = a^2/2, (хотя и так понятно, это оставшаяся половина малого квадрата)
S1 + S3 = S2 + S4 желтая площадь = синей площади
Добавим внешние равные друг другу треугольники (белые), получим уже для четырехугольников:
S1 + S3 + 2*S = S2 + S4 + 2*S
Утверждение доказано.
=
Замечательно то, что это равенство справедливо независимо от положения точки O. Её можно возить по всему квадрату, все площади будут непрерывно меняться, но суммы противоположных будут неизменно сохраняться и оставаться равными друг другу.)
Основное утверждение:
Суммарная площадь одной пары противолежащих четырехугольников равна суммарной площади второй такой же пары.
То есть, по первой картинке:
32 + 16 = 20 + ? ,
поэтому ? = 32 + 16 - 20 = 28
=
Доказательство основного утверждения.
По второй картинке:
Для треугольников:
желтые S1 + S3 = a*h1/2 + a*h3/2 = a*(h1 + h3)/2 = a^2/2 (Sмалого_квадрата/2)
синие S2 + S4 = a*(h2 + h4)/2 = a^2/2, (хотя и так понятно, это оставшаяся половина малого квадрата)
S1 + S3 = S2 + S4 желтая площадь = синей площади
Добавим внешние равные друг другу треугольники (белые), получим уже для четырехугольников:
S1 + S3 + 2*S = S2 + S4 + 2*S
Утверждение доказано.
=
Замечательно то, что это равенство справедливо независимо от положения точки O. Её можно возить по всему квадрату, все площади будут непрерывно меняться, но суммы противоположных будут неизменно сохраняться и оставаться равными друг другу.)
Последний раз редактировалось UraRad 13 янв 2019, 05:32, всего редактировалось 1 раз.
Re: Задачи на смекалку
Этот пост для любителей.
Перечитал предыдущий пост.
Можно провести его без всяких вычислений.
Итак, нам надо сначала увидеть(!), а потом доказать вот это:
Суммы площадей двух пар накрест лежащих фигур равны.
Из этого утверждения сразу следует решение: 32 + 16 - 20 = 28
Воспользуемся для доказательства вторым рисунком из предыдущего поста.
Легко показать, что при движении точки O параллельно одной из диагоналей большого квадрата оба четырехугольника в одной из пар (назовем её парой A) сохраняют каждый свою площадь.
(Например, при движении по линии h2-h4 сохраняются площади 1 и 3)
Но тогда сумма площадей второй пары B не может не сохраняться, потому что SA + SB = Sквадрата.
При движении параллельно второй диагонали, по тем же причинам также будут сохраняться суммы в обеих парах.
Но из любой точки в любую другую можно попасть комбинацией движений вдоль этих диагоналей.
Значит, суммы в обеих парах ,будут сохраняться при любом перемещении точки O.
Остается убедиться в их равенстве.
В центре квадрата эти суммы, очевидно, равны. Если начать двигаться из центра, измениться они, как мы увидели, не могут. Следовательно, они равны при любом положении точки O внутри квадрата.
Утверждение доказано.
Перечитал предыдущий пост.
- это ведь готовая идея доказательства!UraRad писал(а): Замечательно то, что это равенство справедливо независимо от положения точки O. Её можно возить по всему квадрату, все площади будут непрерывно меняться, но суммы противоположных будут неизменно сохраняться и оставаться равными друг другу.)
Можно провести его без всяких вычислений.
Итак, нам надо сначала увидеть(!), а потом доказать вот это:
Суммы площадей двух пар накрест лежащих фигур равны.
Из этого утверждения сразу следует решение: 32 + 16 - 20 = 28
Воспользуемся для доказательства вторым рисунком из предыдущего поста.
Легко показать, что при движении точки O параллельно одной из диагоналей большого квадрата оба четырехугольника в одной из пар (назовем её парой A) сохраняют каждый свою площадь.
(Например, при движении по линии h2-h4 сохраняются площади 1 и 3)
Но тогда сумма площадей второй пары B не может не сохраняться, потому что SA + SB = Sквадрата.
При движении параллельно второй диагонали, по тем же причинам также будут сохраняться суммы в обеих парах.
Но из любой точки в любую другую можно попасть комбинацией движений вдоль этих диагоналей.
Значит, суммы в обеих парах ,будут сохраняться при любом перемещении точки O.
Остается убедиться в их равенстве.
В центре квадрата эти суммы, очевидно, равны. Если начать двигаться из центра, измениться они, как мы увидели, не могут. Следовательно, они равны при любом положении точки O внутри квадрата.
Утверждение доказано.
Последний раз редактировалось UraRad 13 янв 2019, 17:11, всего редактировалось 12 раз.
Re: Задачи на смекалку
Оно хорошо когда знаем что доказывать.UraRad писал(а):
Надо доказать вот это:
Суммарная площадь одной пары противолежащих четырехугольников равна суммарной площади второй такой же пары.
я до самого последнего момента не понимал что сума площадей не меняется .
Соколов Александр
Re: Задачи на смекалку
Теперь из начерталки что нибудь нужно будет решить... Немного отойти от обычной плоскости.
Re: Задачи на смекалку
Меня давно мучает вопрос.
Я весь интернет перерыл в поисках ответа так и не нашел.
Почему падает давление на оптикаемую поверхность с увеличением скорости.
После долгих рассуждений появилось предположение но доказать его я не могу.
Я весь интернет перерыл в поисках ответа так и не нашел.
Почему падает давление на оптикаемую поверхность с увеличением скорости.
После долгих рассуждений появилось предположение но доказать его я не могу.
Последний раз редактировалось ationis 13 янв 2019, 12:07, всего редактировалось 1 раз.
Соколов Александр
Re: Задачи на смекалку
предлагайЛетатель писал(а):Теперь из начерталки что нибудь нужно будет решить... Немного отойти от обычной плоскости.
Соколов Александр
Re: Задачи на смекалку
Я даже не помню правил главных позиционных задач. Хотя конспект где-то лежит, в надежде перечитать и вспомнить... Может позже, если ритм жизни даст чуть больше свободного времени. . Но с удовольствием посмотрю на процесс на этой страничке. Думаю будет правильно всё воспроизвести на бумаге, а здесь выложить фото , скан и т.п.
У меня никогда не хватало терпения долго бить по клавиатуре.
У меня никогда не хватало терпения долго бить по клавиатуре.